Associatieve eigenschap

een binaire operatie ∗ {\displaystyle*} op een verzameling S die niet voldoet aan de associatieve wet wordt niet-associatief genoemd. Symbolisch,

(x ∗ y ) ∗ z ≠ x ∗ (y ∗ z ) voor sommige x , y , z S S . {\displaystyle(x*y)*z\neq x*(y*z)\qquad {\mbox{for some }}x,y,z\In S.}

voor zo ‘ n operatie doet de volgorde van evaluatie er wel toe., 1 ) 2 {\displaystyle 2^{(1^{2})}\,\neh \,(2^{1})^{2}}

let Ook op dat oneindige sommen zijn over het algemeen niet associatief, bijvoorbeeld:

( 1 + − 1 ) + ( 1 + − 1 ) + ( 1 + − 1 ) + ( 1 + − 1 ) + ( 1 + − 1 ) + ( 1 + − 1 ) + … = 0 {\displaystyle (1+-1)+(1+-1)+(1+-1)+(1+-1)+(1+-1)+(1+-1)+\dots \,=\,0}

terwijl

1 + ( − 1 + 1 ) + ( − 1 + 1 ) + ( − 1 + 1 ) + ( − 1 + 1 ) + ( − 1 + 1 ) + ( − 1 + 1 ) + … = 1 {\displaystyle 1+(-1+1)+(-1+1)+(-1+1)+(-1+1)+(-1+1)+(-1+1)+\dots \,=\,1}

De studie van niet-associatieve structuren voortvloeit uit redenen enigszins afwijken van de mainstream van de klassieke algebra., Een gebied binnen de niet-associatieve algebra dat erg groot is geworden is dat van Lie-algebra ‘ s. Daar wordt het verenigingsrecht vervangen door de Jacobi-identiteit. Lie-algebra ‘ s abstract de essentiële aard van infinitesimale transformaties, en zijn alomtegenwoordig geworden in de wiskunde.

er zijn andere specifieke types van niet-associatieve structuren die grondig zijn bestudeerd; deze komen meestal uit een aantal specifieke toepassingen of gebieden zoals combinatorische wiskunde. Andere voorbeelden zijn quasigroep, quasifield, niet-associatieve ring, niet-associatieve algebra en commutatieve niet-associatieve magma ‘ s.,

Nonassociativiteit van floating point calculationEdit

in de wiskunde is optellen en vermenigvuldigen van reële getallen associatief. In de informatica daarentegen is de optelling en vermenigvuldiging van drijvende-kommagetallen niet associatief, omdat afrondingsfouten worden geïntroduceerd wanneer ongelijksoortige waarden worden samengevoegd.

hoewel de meeste computers rekenen met een 24 of 53 bits mantissa, is dit een belangrijke bron van afrondingsfout, en benaderingen zoals het Kahan-sommatiealgoritme zijn manieren om de fouten te minimaliseren., Het kan vooral problematisch zijn in parallelle computing.

notatie voor niet-associatieve operationsEdit

in het algemeen moeten haakjes worden gebruikt om de volgorde van evaluatie aan te geven als een niet-associatieve operatie meer dan eens voorkomt in een expressie (tenzij de notatie de volgorde op een andere manier specificeert, zoals 2 3/4 {\displaystyle {\dfrac {2}{3/4}}} ). Wiskundigen zijn het echter eens over een bepaalde volgorde van evaluatie voor verschillende veelvoorkomende niet-associatieve operaties. Dit is gewoon een notatie conventie om haakjes te vermijden.,

een linksassociatieve bewerking is een niet-associatieve bewerking die conventioneel van links naar rechts wordt geëvalueerd, d.w.z.

x * y * z = ( x * y) * z w * x * y * z = ( ( w * x) * y) * Z enz. } voor alle w , x , y, z S S {\displaystyle \ left.{\begin{matrix}x*y*z=(x * y)*z\qquad \qquad \quad \,\\w*x*y*z=((w*x)*y) * z\quad \\{\mbox{etc.}}\qquad \ qquad \ qquad \qquad \ qquad \ qquad \qquad\\\, \ end{matrix}} \ right\} {\mbox{for all }} w, x, y, z\in S}

terwijl een rechts-associatieve bewerking conventioneel wordt geëvalueerd van rechts naar links:

x ∗ y ∗ z = x ∗ ( y ∗ z ) w ∗ x ∗ y ∗ z = w ∗ ( x ∗ ( y ∗ z ) ) enz., } voor alle w , x , y, z S S {\displaystyle \ left.{\begin{matrix}x * y * z=x*(y * z) \qquad \qquad \quad\, \\w*x*y*z=w*(x*(y*z)) \quad \\{\mbox{etc.}}\qquad \ qquad \ qquad \ qquad \ qquad \ qquad\\\, \ end{matrix}} \ right\} {\mbox{for all }} w, x,y, z\in S}

zowel links-associatieve als rechts-associatieve bewerkingen vinden plaats., Links-associatief bewerkingen zijn de volgende:

• Aftrekken en delen van reële getallen is:

x − y − z = ( x − y ) − z {\displaystyle x-y-z=(x-y)-z} x / y / z = ( x / y ) / z {\displaystyle x/y/z=(x/y)/z}

• Functie-applicatie:

( f x y ) = ( ( f x ) y ) {\displaystyle (f\x\,y)=((f\,x)\,y)} Deze notatie kan gemotiveerd worden door het currying isomorphism.,

Rechtsassociatieve operaties omvatten de volgende:

• exponentiatie van reële getallen in superscript notatie:

x y z = x ( y z ) {\displaystyle X^{y^{z}}=x^{(y^{z})}} exponentiatie wordt vaak gebruikt met haakjes of rechtsassociatief omdat een herhaalde linksassociatieve exponentiatie operatie weinig nut heeft. Herhaalde bevoegdheden worden meestal herschreven met vermenigvuldiging: (x y ) z = x (y z ) {\displaystyle (X^{y})^{z}=x^{(yz)}} correct geformatteerd, gedraagt het superscript zich inherent als een verzameling haakjes; bijv., in de uitdrukking 2 x + 3 {\displaystyle 2^{x+3}} wordt de optelling uitgevoerd voor de exponentiatie ondanks dat er geen expliciete haakjes 2 (x + 3) {\displaystyle 2^{(x+3)}} omheen zijn gewikkeld. Aldus gegeven een uitdrukking zoals X y z {\displaystyle X^{y^{z}}}, wordt de volledige exponent y z {\displaystyle y^{z}} van de basis x {\displaystyle x} eerst geëvalueerd., Echter, in sommige contexten, vooral in handschrift, kan het verschil tussen x y z = ( x y ) z {\displaystyle {X^{y}}^{z}=(x^{y})^{z}} , x y z = x ( y z ) {\displaystyle X^{yz}=x^{(yz)}} en x y z = X ( y z ) {\displaystyle X^{y^{z}}=x^{(y^{z})}} moeilijk zijn zie je. In zo ‘ n geval is rechtsassociativiteit meestal impliciet.,

• Functie definitie

Z → Z → Z = Z → Z → Z ) {\displaystyle \mathbb {Z} \rightarrow \mathbb {Z} \rightarrow \mathbb {Z} =\mathbb {Z} \rightarrow (\mathbb {Z} \rightarrow \mathbb {Z} )} x ↦ y ↦ x − y = x ↦ ( y ↦ x − y ) {\displaystyle x\mapsto y\mapsto x-y=x\mapsto (y\mapsto x-y)} Met rechts-associatief notatie voor deze operaties kan gemotiveerd worden door de Curry–Howard correspondentie en door het currying isomorphism.

niet-associatieve bewerkingen waarvoor geen conventionele evaluatievolgorde is gedefinieerd, omvatten het volgende.,splaystyle een\uparrow \uparrow \uparrow (b\uparrow \uparrow \uparrow c)\neq (a\uparrow \uparrow \uparrow b)\uparrow \uparrow \uparrow c}

• het Nemen van het cross-product van drie vectoren:

a → × ( b → × c → ) ≠ ( a → × b → ) × c → voor sommige a → b → , c → ∈ R 3 {\displaystyle {\vec {a}}\times ({\vec {b}}\times {\vec {c}})\neq ({\vec {a}}\times {\vec {b}})\times {\vec {c}}\qquad {\mbox{ voor sommige }}{\vec {a}},{\vec {b}},{\vec {c}}\in \mathbb {R} ^{3}}

• het Nemen van de paarsgewijze gemiddelde van de reële getallen is:

( x + y ) / 2 + z 2 ≠ x + ( y + z ) / 2 2 voor alle x , y , z ∈ R met x ≠ z ., {\displaystyle {(x + y)/2+z \over 2}\neq {x+(y+z) / 2 \over 2}\qquad {\mbox{for all }}x,y,z\in \mathbb {R} {\mbox{ with }}x\neq z.}

---