De Stelling van Pythagoras
De Stelling van Pythagoras
leerdoelstelling(en)
· gebruik de Stelling van Pythagoras om de onbekende zijde van een rechthoekige driehoek te vinden.
· los toepassingsproblemen op met betrekking tot de Stelling van Pythagoras.,
Inleiding
lang geleden ontdekte een Griekse wiskundige genaamd Pythagoras een interessante eigenschap over rechthoekige driehoeken: de som van de kwadraten van de lengten van elk van de driehoeken is hetzelfde als het kwadraat van de lengte van de hypotenusa van de driehoek. Deze eigenschap-die veel toepassingen heeft in wetenschap, kunst, techniek en architectuur—wordt nu de Stelling van Pythagoras genoemd.
laten we eens kijken hoe deze stelling u kan helpen meer te leren over de constructie van driehoeken., En het beste deel—je hoeft niet eens Grieks te spreken om Pythagoras’ ontdekking toe te passen.
De Stelling van Pythagoras bestudeerde rechthoekige driehoeken en de relaties tussen de benen en de hypotenusa van een rechthoekige driehoek, alvorens zijn theorie af te leiden.,
De Stelling van Pythagoras
als a en b de lengte van de benen van een rechthoekige driehoek zijn en c de lengte van de hypotenusa is, dan is de som van de kwadraten van de lengtes van de benen gelijk aan het kwadraat van de lengte van de hypotenusa.
Deze relatie wordt weergegeven door de formule: 
in het bovenstaande vak kunt u het woord “vierkant” hebben opgemerkt, evenals de kleine 2s rechtsboven van de letters in ., Een getal kwadrateren betekent het zelf vermenigvuldigen. Dus, bijvoorbeeld, om het getal 5 te kwadrateren vermenigvuldig je 5 • 5, en om het getal 12 te kwadrateren vermenigvuldig je 12 • 12. Enkele veel voorkomende vierkanten zijn weergegeven in de onderstaande tabel.,5″>
52 = 5 • 5
25
10
102 = 10 • 10
100
Als je de vergelijking je zou dit kunnen zien als “de lengte van een zijde een keer zelf, plus de lengte van zijde b keer zelf is hetzelfde als de lengte van zijde c keer zelf.,”
laten we alle Stelling van Pythagoras uitproberen met een werkelijke rechthoekige driehoek.
deze stelling geldt voor deze rechthoekige driehoek—de som van de kwadraten van de lengtes van beide benen is hetzelfde als het kwadraat van de lengte van de hypotenusa. En in feite geldt het voor alle rechthoekige driehoeken.
De Stelling van Pythagoras kan ook worden weergegeven in termen van oppervlakte. In elke rechthoekige driehoek is de oppervlakte van het vierkant getrokken uit de hypotenusa gelijk aan de som van de gebieden van de vierkanten die zijn getrokken uit de twee benen., U kunt dit hieronder in dezelfde 3-4-5 rechthoekige driehoek zien.
merk op dat de Stelling van Pythagoras alleen werkt met rechthoekige driehoeken.
het vinden van de lengte van de hypotenusa
u kunt de Stelling van Pythagoras gebruiken om de lengte van de hypotenusa van een rechthoekige driehoek te vinden als u de lengte van de andere twee zijden van de driehoek kent, de benen genoemd. Anders gezegd, als je de lengtes van a en b kent, kun je c vinden.,
in de driehoek hierboven krijgt u maten voor benen a en b: respectievelijk 5 en 12. Je kunt de Stelling van Pythagoras gebruiken om een waarde te vinden voor de lengte van c, de hypotenusa.
|
|
De Stelling van Pythagoras. |
|
|
vervang bekende waarden voor a en b., |
|
|
Evaluate. |
|
|
vereenvoudig. Om de waarde van c te vinden, moet je denken aan een getal dat, vermenigvuldigd met zichzelf, gelijk is aan 169. Werkt 10? Wat dacht je van elf? 12? 13? (U kunt een rekenmachine gebruiken om te vermenigvuldigen als de getallen onbekend zijn.) |
|
13 = c |
de vierkantswortel van 169 is 13., |
met behulp van de formule vindt u dat de lengte van c, de hypotenusa, 13 is.
in dit geval kende u de waarde van c niet—u kreeg het kwadraat van de lengte van de hypotenusa, en moest het vanaf daar uitzoeken. Wanneer u een vergelijking als 
krijgt en u wordt gevraagd om de waarde van c te vinden, wordt dit het vinden van de vierkantswortel van een getal genoemd. (Merk op dat je een getal hebt gevonden, c, waarvan het vierkant 169 was.,)
het vinden van een vierkantswortel vergt enige oefening, maar het vereist ook kennis van vermenigvuldigen, delen en een beetje vallen en opstaan. Kijk naar de tabel hieronder.,r>
25
5 • 5
5
100
10 • 10
10
It is a good habit to become familiar with the squares of the numbers from 0‒10, as these arise frequently in mathematics., Als je die vierkante getallen kunt onthouden—of als je een rekenmachine kunt gebruiken om ze te vinden—dan is het vinden van veel gemeenschappelijke vierkantswortels gewoon een kwestie van herinneren.
voor welke van deze driehoeken is 
?,
A)
B)
C)
D)
het Vinden van de Lengte van een Been,
U kunt dezelfde formule om de lengte van een rechthoekige driehoek van de pijpen, als je de gegeven afmetingen de lengte van de schuine zijde en de andere been. Neem het voorbeeld hieronder.,
|
Example |
||
|
Problem |
Find the length of side a in the triangle below. Use a calculator to estimate the square root to one decimal place.
|
|
|
a = ?, b = 6 c = 7 |
in deze rechthoekige driehoek krijgt u de metingen voor de hypotenusa, C, en een been, b. de hypotenusa is altijd tegenover de rechte hoek en het is altijd de langste zijde van de driehoek. |
|
|
om de lengte van been a te vinden, vervang je de bekende waarden in de stelling van Pythagoras., |
||
|
|
|
Solve for a2. Think: what number, when added to 36, gives you 49? |
|
|
|
Use a calculator to find the square root of 13. The calculator gives an answer of 3.,6055…, die je kunt afronden naar 3.6. (Aangezien u het benadert, gebruikt u het symbool |
|
Antwoord |
|
|
.)
Welke van de volgende correct gebruikt de Stelling van Pythagoras te vinden van de ontbrekende zijde, x?,
A) 
B) x + 8 = 10
C) 
D) 
met Behulp van de Stelling aan het Oplossen van Echte Problemen van de Wereld
De Stelling van Pythagoras is misschien wel een van de meest nuttige formules leert u in de wiskunde, want er zijn zo veel toepassingen van het in de echte wereld instellingen., Architecten en ingenieurs gebruiken deze formule uitgebreid bij het bouwen van hellingen, bruggen en gebouwen. Kijk naar de volgende voorbeelden.
|
Voorbeeld |
||
|
Op. |
De eigenaren van een huis wilt converteren naar een trap die vanaf de grond op hun rug veranda in een helling. De veranda is 3 voet van de grond, en als gevolg van de bouwvoorschriften de helling moet beginnen 12 voet afstand van de basis van de veranda. Hoe lang duurt de helling?, Gebruik een rekenmachine om de vierkantswortel te vinden, en rond het antwoord af naar de dichtstbijzijnde tiende. |
|
|
om een probleem als dit op te lossen, is het vaak zinvol om een eenvoudig diagram te tekenen dat aangeeft waar de benen en de schuine zijde van de driehoek liggen., |
||
|
|
||
|
|
a = 3 b = 12 c = ? |
Identify the legs and the hypotenuse of the triangle., Je weet dat de driehoek een rechthoekige driehoek is omdat de grond en het verhoogde gedeelte van de veranda loodrecht staan—dit betekent dat je de Stelling van Pythagoras kunt gebruiken om dit probleem op te lossen. Het identificeren van a, b, en c. |
|
|
|
Gebruik de Stelling van Pythagoras de lengte van c., |
|
|
12.4 = c |
Gebruik een calculator te vinden c. De wortel van 153 is 12.369…, dus je kunt om dat te 12.4. |
|
antwoord |
de helling zal 12,4 voet lang zijn., |
|
|
Voorbeeld |
||
|
Op. |
Een zeilboot heeft een groot zeil in de vorm van een rechthoekige driehoek. De langste rand van het zeil meet 17 yards, en de onderste rand van het zeil is 8 yards. Hoe hoog is het zeil?, |
|
|
|
teken een afbeelding om u te helpen het probleem te visualiseren. In een rechthoekige driehoek zal de hypotenusa altijd de langste zijde zijn, dus hier moet het 17 yards zijn. Het probleem vertelt je ook dat de onderkant van de driehoek 8 yards is., |
|
|
|
Setup the Pythagorean Theorem. |
|
|
|
a = 15 |
15 • 15 = 225, so a = 15. |
|
Answer |
The height of the sail is 15 yards., |
|
samenvatting
De Stelling van Pythagoras stelt dat in elke rechthoekige driehoek de som van de kwadraten van de lengtes van de benen van de driehoek gelijk is aan het kwadraat van de lengte van de driehoek.driehoek ‘ s hypotenusa. Deze stelling wordt weergegeven door de formule . Simpel gezegd, als je de lengtes van twee zijden van een rechthoekige driehoek kent, kun je de Stelling van Pythagoras toepassen om de lengte van de derde zijde te vinden. Onthoud, deze stelling werkt alleen voor rechthoekige driehoeken.