Integer

in het basisonderwijs worden gehele getallen vaak intuïtief gedefinieerd als de (positieve) natuurlijke getallen, nul en de negaties van de natuurlijke getallen., Echter, deze stijl van definitie leidt tot veel verschillende gevallen (elke rekenkundige operatie moet worden gedefinieerd op elke combinatie van soorten integer) en maakt het vervelend om te bewijzen dat gehele getallen voldoen aan de verschillende wetten van de rekenkunde. Daarom wordt in de moderne settheoretische wiskunde vaak een meer abstracte constructie gebruikt die het mogelijk maakt om rekenkundige operaties te definiëren zonder onderscheid tussen gevallen. De gehele getallen kunnen dus formeel geconstrueerd worden als de equivalentieklassen van geordende paren van natuurlijke getallen (a, b).,

de intuïtie is dat (a, b) staat voor het resultaat van het aftrekken van b van a. om onze verwachting te bevestigen dat 1 − 2 en 4 − 5 hetzelfde getal aangeven, definiëren we een equivalentie relatie ~ op deze paren met de volgende regel:

( a , b) ∼ (c , d) {\displaystyle (A,b)\sim (c,d)}

precies wanneer

a + d = b + c . {\displaystyle a+d=b+c.}

optellen en vermenigvuldigen van gehele getallen kunnen worden gedefinieerd in termen van de equivalente bewerkingen op de natuurlijke getallen; door de equivalentieklasse aan te duiden die (a,b) als lid heeft, heeft men:

+ := . {\displaystyle +:=.} ⋅ := ., {\displaystyle \ cdot:=.}

de negatie (of additieve inverse) van een geheel getal wordt verkregen door de volgorde van het paar om te keren:

− := . {\displaystyle -:=.}

Aftrekken kan dus worden gedefinieerd als de toevoeging van de inverse van het additief:

−:=. {\displaystyle -:=.}

de standaardvolgorde op de gehele getallen wordt gegeven door:

< {\displaystyle <} als en alleen als A + d < b + c . {\displaystyle a + d<b + c.,}

het is gemakkelijk te controleren of deze definities onafhankelijk zijn van de keuze van vertegenwoordigers van de equivalentieklassen.

wordt dus aangeduid met

{ a-b , indien a ≥ b – (b-a ) , indien a < b . {\displaystyle {\begin{cases}a-b,&{\MBOX{if }}a\geq b\\-(b-a),&{\MBOX{if }}a<b.\end{cases}}}

als de natuurlijke getallen geïdentificeerd met de overeenkomstige gehele getallen (met behulp van de inbedding hierboven vermeld), deze conventie creëert geen dubbelzinnigheid.,

deze notatie herstelt de vertrouwde representatie van de gehele getallen als {…, -2, -1, 0, 1, 2, …}.

enkele voorbeelden zijn:

0 = = = ⋯ = 1 = = = ⋯ = − 1 = = = ⋯ = 2 = = = ⋯ = − 2 = = = ⋯ = .,>=\\1&=&=&=\cdots &&=\\-1&=&=&=\cdots &&=\\2&=&=&=\cdots &&=\\-2&=&=&=\cdots &&=.,\end{aligned}}}

in de theoretische informatica worden andere benaderingen voor de constructie van gehele getallen gebruikt door geautomatiseerde theorem provers en term rewrite engines.Gehele getallen worden weergegeven als algebraïsche termen gebouwd met behulp van een paar basis operaties (bijvoorbeeld nul, succ, pred) en, mogelijk, met behulp van natuurlijke getallen, waarvan wordt aangenomen dat ze al geconstrueerd zijn (bijvoorbeeld met behulp van de Peano benadering).

er bestaan minstens tien van dergelijke constructies van getekende gehele getallen., Deze constructies verschillen op een aantal manieren: het aantal elementaire operaties gebruikt voor de constructie, het aantal (meestal tussen 0 en 2) en de soorten argumenten geaccepteerd door deze activiteiten; de aanwezigheid of afwezigheid van natuurlijke getallen als argument van sommige van deze activiteiten, en het feit dat deze activiteiten zijn gratis constructeurs of niet, d.w.z. dat hetzelfde getal kan worden weergegeven met behulp van slechts één of meerdere algebraïsche termen.,

de techniek voor de constructie van gehele getallen hierboven in deze sectie komt overeen met het specifieke geval waarin er een enkel basis operatiepaar is ( x , y ) {\displaystyle (x,y)} dat twee natuurlijke getallen x {\displaystyle x} en y {\displaystyle y} als argument neemt , en een geheel getal retourneert (gelijk aan x − y {\displaystyle x-y} ). Deze operatie is niet vrij omdat het gehele getal 0 kan worden geschreven paar (0,0), of paar(1,1), of paar(2,2), enz., Deze techniek van de bouw wordt gebruikt door de proof assistant Isabelle; echter, veel andere gereedschappen maken gebruik van alternatieve bouwtechnieken, Opmerkelijk die gebaseerd zijn op vrije constructeurs, die eenvoudiger zijn en efficiënter kunnen worden geïmplementeerd in computers.

---