Kansdichtheidsfunctie
door Marco Taboga, PhD
de verdeling van een continue willekeurige variabele kan worden gekarakteriseerd door zijn kansdichtheidsfunctie (pdf). De kans dat een continue willekeurige variabele een waarde neemt in een gegeven interval is gelijk aan de integraal van zijn kansdichtheidsfunctie over dat interval, die op zijn beurt gelijk is aan de oppervlakte van het gebied in het xy-vlak begrensd door de x-as, de pdf en de verticale lijnen die overeenkomen met de grenzen van het interval.,
bijvoorbeeld, in de afbeelding onder de blauwe lijn is de pdf van een normale willekeurige variabele en de oppervlakte van het rode gebied is gelijk aan de kans dat de willekeurige variabele een waarde tussen -2 en 2 neemt.
definitie
het volgende is een formele definitie.
definitie de kansdichtheidsfunctie van een continue willekeurige variabele 
is een functie 
zodanig dat
voor elk interval .,
de verzameling waarden waarvoor de ondersteuning van wordt genoemd.,voor de integratie van de kansdichtheidsfunctie over dat interval:
De kansdichtheid is niet een kans
Het is belangrijk om te begrijpen van een fundamenteel verschil tussen de kansdichtheidsfunctie, die kenmerkend is voor de distributie van een continue stochastische variabele, en de kans massa-functie, die kenmerkend is voor de distributie van een discrete random variabele (denk eraan: een willekeurige variabele is discreet als het aantal waarden kan nemen is telbare, terwijl het aantal waarden dat een continue stochastische variabele kan nemen is ontelbaar)., De kansmassafunctie van een discrete variabele is een functie die u, voor elk reëel getal , de kans geeft dat gelijk zal zijn aan . Integendeel, als een continue variabele is, is de kansdichtheidsfunctie geëvalueerd op een bepaald punt niet de kans dat gelijk zal zijn aan ., In feite is deze kans gelijk aan nul voor elke omdat
waarbij een primitieve (of onbepaalde integraal) van is.
Als u verbaasd bent over het laatste resultaat, wordt u geadviseerd om de lezing over gebeurtenissen met nulkans te lezen.
hoewel het geen waarschijnlijkheid is, kan de waarde van de pdf op een gegeven punt een eenvoudige interpretatie worden gegeven:
waarbij een kleine toename is.,
het bewijs dat we gaan geven is niet rigoureus. In plaats daarvan richten we ons op de intuïtie. Omwille van de eenvoud gaan we ervan uit dat de pdf een continue functie is. Strikt genomen is dit niet nodig, hoewel de meeste PDF ‘ s die in de praktijk worden aangetroffen continu zijn (per definitie moet een pdf integreerbaar zijn; hoewel alle continue functies integreerbaar zijn, zijn niet alle integreerbare functies continu)., Als de pdf continu is en klein is, dan wordt goed benaderd door voor elke behorend tot het interval 
. Hieruit volgt dat 
In de bovenstaande benadering beschouwen we de waarschijnlijkheid dat gelijk zal zijn aan of aan een waarde die behoort tot een klein interval in de buurt van . In het bijzonder beschouwen we het interval ., De waarschijnlijkheid is proportioneel aan de lengte van het kleine interval dat we overwegen. De proportionaliteitsconstante is de waarschijnlijkheidsfunctie van geëvalueerd bij . Dus hoe hoger de pdf is op een gegeven punt , hoe hoger de kans is dat een waarde zal aannemen in de buurt van .,
gerelateerde concepten
gerelateerde concepten zijn die van:
-
gezamenlijke kansdichtheidsfunctie, die de verdeling van een continue willekeurige vector karakteriseert;
-
marginale kansdichtheidsfunctie, die de verdeling van een subset van items van een willekeurige vector karakteriseert;
-
voorwaardelijke kansdichtheidsfunctie, die een pdf is die wordt verkregen door conditionering op de realisatie van een andere willekeurige variabele.,
meer details
Waarschijnlijkheidsfuncties worden nader besproken in de lezing met de titel Random variables.
de Woordenlijst lezen
vorige entry: Prior probability
volgende entry: Probability mass function
How to cite
please cite as: