Khan Academy ondersteunt deze browser niet. [close]
een van jullie stuurde een redelijk interessant probleem, dus ik dacht dat ik het zou oplossen. Het probleem is dat ik een groep van 30 mensen heb, dus 30 mensen in een kamer. Ze hebben willekeurig 30 mensen gekozen. En de vraag is: wat is het probleem dat minstens 2 mensen dezelfde verjaardag hebben? Dit is een leuke vraag, want dat is de grootte van veel klaslokalen. Wat is de kans dat tenminste iemand in de klas een verjaardag deelt met iemand in de klas?, Dat is ook een goede manier om te zeggen. Dit is hetzelfde assaysing, Wat is de kans dat iemand deelt met ten minste iemand anders. Ze konden het delen met 2 anderen of 4 andere mensen in de verjaardag. In het begin lijkt dit probleem erg moeilijk omdat er veel omstandigheden zijn die dit waarmaken. Ik kan precies twee mensen op dezelfde verjaardag hebben. Ik kan precies drie mensen op dezelfde verjaardag hebben. Ik kan precies 29 mensen hebben die dezelfde verjaardag hebben en dit alles maakt dit waar, dus voeg ik de waarschijnlijkheid van elk van deze omstandigheden toe?, En dan tel je ze op en dan wordt dat heel moeilijk. En dan moet ik zeggen, ok, wiens verjaardagen en ik vergelijken? En ik zou moeten doen combinaties. Het wordt een echt moeilijk probleem, tenzij je een soort van zeer vereenvoudigende nemen op het probleem. Dit is het tegenovergestelde van — laat me de waarschijnlijkheidsruimte tekenen. Laten we zeggen dat dit alle uitkomsten zijn. Ik teken het met een dikkere lijn. Dus laten we zeggen dat dit alles is van de uitkomsten van mijn waarschijnlijkheidsruimte. Dus dat is 100% van de resultaten. We willen weten … laat me het tekenen in een kleur die niet beledigend voor je zal zijn., Dat ziet er niet geweldig uit, maar toch. Laten we zeggen dat dit het probleem is, dit gebied hier– en ik weet niet hoe groot het echt is, we komen er wel uit. Laten we zeggen dat dit het probleem is dat iemand een verjaardag deelt met ten minste iemand anders. Wat is dit gebied hier? Wat is dit groene gebied? Nou, dat betekent dat als dit alle gevallen zijn waar iemand een verjaardag deelt met iemand, dit allemaal het gebied is waar niemand een vroege dag deelt met iemand. Of je zou kunnen zeggen, alle 30 mensen hebben verschillende verjaardagen. Dit is wat we”opnieuw proberen uit te zoeken., Ik noem het de zekerheid die iemand deelt. Ik noem het de waarschijnlijkheid van delen, de waarschijnlijkheid van s. als dit hele gebied Gebied 1 of 100% is, dit groene gebied hier, dit wordt 1 min p van s. Dit wordt 1 min p van s. of als we zeggen dat dit de waarschijnlijkheid is– of op een andere manier kunnen we het zeggen, Eigenlijk is dit de beste manier om erover na te denken. Als dit anders is, is sothis de kans op verschillende verjaardagen. Dit is de kans dat alle 30 mensen 30 verschillende verjaardagen hebben. Niemand deelt met iemand., De kans dat iemand met iemand anders deelt plus de kans dat niemand met iemand deelt– ze hebben allemaal verschillende verjaardagen–dat moet gelijk zijn aan 1. Omdat we ofwel in deze situatie zitten, ofwel in die situatie. Of je kunt zeggen dat ze 100% zijn. Hoe dan ook, 100% en 1 zijn hetzelfde nummer. Het is gelijk aan 100%. Dus als we erachter komen dat iedereen dezelfde verjaardag heeft, kunnen we het van 100 Aftrekken. Dus laten we eens kijken. We kunnen dit gewoon herschrijven., De kans dat iemand een verjaardag deelt met iemand anders, is gelijk aan 100% min de kans dat iedereen verschillende,aparte verjaardagen heeft. En de reden waarom ik dat doe is omdat, zoals ik begon in de video, dit moeilijk te achterhalen is. Weet je, Ik kan erachter komen dat 2 mensen dezelfde verjaardag hebben,5 mensen, en het wordt erg verwarrend. Maar hier, als ik gewoon de kans wil berekenen dat iedereen een bepaalde dag heeft, is het eigenlijk een veel gemakkelijkere kans om op te lossen. Wat is de kans dat iedereen een duidelijke verjaardag heeft?, Dus laten we erover nadenken. Persoon één. Gewoon voor de eenvoud, laat ” simagine de zaak dat we slechts 2 personen in de kamer. Wat is het waarschijnlijk dat ze verschillende verjaardagen hebben? Laten we eens kijken, persoon één, hun geboortedag kan 365 dagen van 365 dagen per jaar zijn. Je weet wel, wanneer hun verjaardag is. En dan persoon twee, als we ervoor willen zorgen dat ze niet dezelfde verjaardag hebben,op hoeveel dagen kan persoon twee geboren worden? Nou, het kan elke dag bornon zijn waar iemand niet op geboren is. Er zijn 364 mogelijkheden 365., Dus als je 2 mensen had, de zekerheid dat niemand op dezelfde dag geboren is– dit is slechts 1. Het wordt gelijk aan 364/365. Wat gebeurt er als we drie mensen hebben? Dus allereerst kon de eerste persoon op elke dag geboren worden. Dan kon de tweede persoon geboren worden op 364 mogelijke dagen van de 365. En dan de derde persoon,wat is de kans dat de derde persoon niet geboren wordt op een van deze verjaardagen? Dus 2 dagen worden opgenomen, dus de kans is 363/365. Je vermenigvuldigt ze. Je krijgt 365 keer 36 — eigenlijk zou ik deze moeten herschrijven., In plaats van te zeggen dat dit 1 is, schrijf ik dit als– de teller is 365 keer 365 keer 365 kwadraat. Want Ik wil dat je het patroon ziet. Hier is de kans 365 keer 364 keer 363 gedeeld door 365 tot de derde macht. En dus, in het algemeen, als je dit gewoon doet tot 30, als ik dit proces voor 30 mensen houd– de kans dat niemand dezelfde geboortedatum deelt zou gelijk zijn aan 365 keer 364 keer 363– ik heb hier 30 termen. Helemaal tot wat? Helemaal naar 336. Dat is 30 termijnen gedeeld door 365 tot de 30e macht., Je kunt dit nu in je rekenmachine typen. Het zal je een beetje tijd kosten om 30 nummers te typen, en je zult de kans krijgen dat niemand dezelfde verjaardag deelt met iemand anders. Maar voordat we dat doen, laat me je iets laten zien dat het een beetje makkelijker maakt. Is er een manier dat ik dit met faculteit kan uitdrukken? Of dat ik dit wiskundig kan uitdrukken met faculteit? Laten we erover nadenken. 365 faculteit is wat? 365 faculteit is gelijk aan 365 keer 364 keer 363 keer — helemaal naar beneden tot 1. Blijf je vermenigvuldigen. Het is een enorm aantal., Nu, als ik alleen de 365 keer de 364 in dit geval wil, moet ik me ontdoen van al deze nummers hier. Een ding dat ik kan doen is dit ding delen door al deze getallen. Dus 363 keer 362 — helemaal naar beneden naar 1. Dus dat is hetzelfde als het verdelen door 363 faculteit. 365 factorial gedeeld door 363 factorial is in wezen dit omdat al deze bepalingen heffen. Dus dit is gelijk aan 365factor gedeeld door 363 faculteit gedeeld door 365 kwadraat. En in dit geval is het bijna dom om je zorgen te maken over de factorials,maar het wordt handig als we iets groters hebben dan twee termen hier., Dus volgens dezelfde logica is dit gelijk aan 365 faculteit gedeeld door 362 faculteit gedeeld door 365 kwadraat. En eigenlijk nog een interessant punt. Hoe komen we aan deze 365? Sorry, hoe komen we aan deze 363 faculteit? 365 min 2 is 363, toch? En dat is logisch, want we wilden hier maar twee termen. We wilden hier maar twee. Dus we wilden delen door een factor die twee minder is. En dus hebben we nog maar de hoogste twee termen over., Dit is ook gelijk aan– je zou dit kunnen schrijven als 365 faculteit gedeeld door 365 minus2 faculteit 365 min 2 is 363 faculteit en dan eindig je gewoon met deze twee termen en dat is dat daar. En dan ook, deze rechter, deze teller kun je herschrijven als 365 faculteit gedeeld door 365 min 3– en we hadden 3 mensen– faculteit. En dat moet hopelijk zinvol zijn, toch? Dit is hetzelfde als 365-factor 365 gedeeld door 3 is 362-factor. En dat is gelijk aan 365 keer 364 keer 363 helemaal naar beneden. Gedeeld door 362 keer helemaal naar beneden., En dat zal met al het andere teniet doen en dan blijf je met dat achter. En dat is dat daar. Dus volgens dezelfde logica, kan deze toppart hier worden geschreven als 365 faculteit over wat? 365 min 30 faculteit. Ik heb dat allemaal gedaan zodat ik je het patroon kon laten zien en omdat dit makkelijker te typen is in een rekenmachine als je weet waar de factoriële knop is. Dus laten we uitzoeken wat deze hele waarschijnlijkheid is. Als we de rekenmachine aanzetten,willen we– laten we de teller doen. 365 faculteit gedeeld door — wat is 365 min 30? Dat is 335., Gedeeld door 335 faculteit en dat is de hele teller. En nu willen we de teller delen door 365 tot de 30e macht. Laat de rekenmachine denken en we krijgen 0.2936. Is gelijk aan 0,2936. Eigenlijk 37 als je afgerond, wat gelijk is aan 29,37%. Zodat je je herinnert wat we al die tijd deden, dit was de kans dat niemand een verjaardag met iemand deelt. Dit was de kans dat iedereen verschillende, verschillende geboortedagen had van alle anderen., We zeiden: “de kans dat iemand een verjaardag deelt met iemand anders,of misschien met meer dan één persoon, is gelijk aan alle mogelijkheden– de 100%, de waarschijnlijkheidsruimte,min de kans dat niemand een verjaardag deelt met iemand. Dus dat is gelijk aan 100% min 29,37%. Of op een andere manier zou je het kunnen opschrijven als ” 1 min 0,2937, wat gelijk is aan — dus als ik dat wil aftrekken van 1. 1 min — dat is gewoon het antwoord. Dat betekent 1 min 0,29. Je krijgt 0.7063. Dus de kans dat iemand een verjaardag deelt met iemand anders is 0,7063–het blijft maar doorgaan., Dat is ongeveer gelijk aan 70,6%. Wat een mooi resultaat is, want als je 30 mensen in een kamer hebt,zou je kunnen zeggen, Oh wow, wat is de kans dat iemand dezelfde geboortedag heeft als iemand anders? Het is eigenlijk vrij hoog. 70% van de tijd, als je een groep van 30 personen, ten minste 1 persoon deelt een geboortedatum met ten minste een andere persoon in de kamer. Dus dat is een leuk probleem. En een mooi resultaat tegelijkertijd. Ik zie je in de volgende video.