Kromming

intuïtief beschrijft de kromming voor elk deel van een kromme hoeveel de kromme richting verandert over een kleine afgelegde afstand (bijvoorbeeld hoek in rad/m), dus het is een maat voor de momentane snelheid van verandering van richting van een punt dat beweegt op de kromme: hoe groter de kromming, hoe groter deze snelheid van verandering. Met andere woorden, de kromming meet hoe snel de eenheid raakvector aan de kromme roteert (snel in termen van kromme positie). In feite kan worden bewezen dat deze momentane snelheid van verandering precies de kromming is., Meer precies, stel dat het punt beweegt op de kromme met een constante snelheid van een eenheid, dat wil zeggen, de positie van het punt P(s) is een functie van de parameter s, die kan worden gedacht als de tijd of als de booglengte van een gegeven oorsprong. Zij T(s) een eenheid raakvector van de kromme op P(s) zijn, die ook de afgeleide van P(s) ten opzichte van s is. dan is de afgeleide van T (s) ten opzichte van s een vector die normaal is voor de kromme en waarvan de lengte de kromming is.,

om betekenisvol te zijn, vereist de definitie van de kromming en zijn verschillende karakteriseringen dat de kromme continu differentieerbaar is nabij P, Voor het hebben van een raaklijn die continu varieert; het vereist ook dat de kromme tweemaal differentieerbaar is bij P, om het bestaan van de betrokken limieten te verzekeren, en van de afgeleide van T(s).

de karakterisering van de kromming in termen van de afgeleide van de eenheidsraakvector is waarschijnlijk minder intuïtief dan de definitie in termen van de osculerende cirkel, maar formules voor het berekenen van de kromming zijn gemakkelijker af te leiden., Daarom, en ook vanwege het gebruik ervan in de kinematica, wordt deze karakterisering vaak gegeven als een definitie van de kromming.

Osculerende cirkel edit

historisch gezien werd de kromming van een differentieerbare kromme gedefinieerd door de osculerende cirkel, de cirkel die de kromme op een punt het beste benadert. Om precies te zijn, gegeven een punt P op een kromme, definieert elk ander punt Q van de kromme een cirkel (of soms een lijn) die door Q loopt en raaklijnt aan de kromme bij P. de osculerende cirkel is de limiet, indien deze bestaat, van deze cirkel wanneer Q neigt naar P., Dan zijn het centrum en de kromtestraal van de kromme bij P het centrum en de straal van de osculerende cirkel. De kromming is de wederkerige straal van kromming. Dat wil zeggen, de kromming is

κ = 1 R, {\displaystyle \ kappa = {\frac {1}{R}},}

waar R de krommingsstraal is (de hele cirkel heeft deze kromming, het kan worden gelezen als draai 2π over de lengte 2nR).

Deze definitie is moeilijk te manipuleren en uit te drukken in formules. Daarom zijn andere gelijkwaardige definities ingevoerd.,

in termen van booglengte parametrizationEdit

elke differentieerbare kromme kan worden geparametriseerd met betrekking tot booglengte. In het geval van een vlakkromme betekent dit het bestaan van een parametrisering γ(s) = (x(S), y(s)), waarbij x en y differentieerbare functies zijn waarvan de afgeleiden voldoen aan

γ γ ‘‖ = x ‘( s ) 2 + y ‘ ( s ) 2 = 1. {\displaystyle \ / {\boldsymbol {\gamma }} “\/ = {\sqrt {x “(S)^{2}+y ” (s))^{2}}}=1.,}

Dit betekent dat de raakvector

T (s)=(x ‘( S), y ‘( s)) {\displaystyle \mathbf {T} (s) = {\bigl (}x”(S), y”(s) {\bigr)}}

een norm heeft die gelijk is aan één en dus een eenheidsraakvector is.

als de curve tweemaal differentieerbaar is, dat wil zeggen als de tweede derivaten van x en y bestaan, dan bestaat de afgeleide van T(s). Deze vector is normaal voor de kromme, zijn norm is de kromming κ (s), en het is gericht op het centrum van kromming.,yle {\begin{aligned}&\mathbf {T} (s)={\boldsymbol {\gamma }}”(s),\\&\mathbf {T} ^{2}(s)=1(const)\impliceert \mathbf {T} (s)\cdot \mathbf {T} (s)=0\\&\kappa (s)=\|\mathbf {T} (s)\|=\|{\boldsymbol {\gamma }}””(s)\|={\sqrt {x””(s)^{2}+y””(s)^{2}}}\\\end{aligned}}}

Bovendien, als de straal van de kromming is

R ( s ) = 1 κ ( s ) , {\displaystyle R(s)={\frac {1}{\kappa (s)}},}

en het centrum van de kromming op de normale van de curve, het middelpunt van de kromming is de punt

C ( s ) = γ ( s ) + 1 κ ( s ) 2 T ‘ s ) ., {\displaystyle \ mathbf {C} (s)={\boldsymbol {\gamma }}(s)+{\frac {1}{\kappa (s)^{2}}}\mathbf {T} “(s).}

als N (s) de eenheidsnormale vector is die wordt verkregen uit T(s) door een rotatie tegen de klok in van π/2, dan

T ‘ ( S) = k ( s) N ( s), {\displaystyle \mathbf {T} “(S)=k(s)\mathbf {N} (s),}

met k(s) = ± κ(s). Het reële getal k (s) wordt de georiënteerde of ondertekende kromming genoemd. Het hangt af van zowel de oriëntatie van het vlak (definitie van tegen de klok in), en de oriëntatie van de kromme die door de parametrisatie., In feite, de verandering van variabele s → –s zorgt voor een andere boog-lengte parametrisatie, en verandert het teken van k(s).

in termen van een algemene parametrizationEdit

zij γ(t) = (x(t), y(t)) een juiste parametrische representatie van een tweemaal differentieerbare vlakkromme. Hier eigenlijke betekent dat op het domein van definitie van de parametrisatie, de afgeleide dy/DTI gedefinieerd, differentieerbaar en nergens gelijk aan de nulvector.,

met zo ’n parametrisatie is de ondertekende kromming

k = x’ y − – y ‘ x “(x ‘2 + y’ 2 ) 3 2, {\displaystyle k={\frac {x ” y “”- y “x”} {\left ({x”}^{2}+{y”}^{2} \ right)^{\frac {3}{2}}}},}

waarbij priemgetallen verwijzen naar afgeleiden met betrekking tot t. de kromming κ is dus

κ = / x ‘ y “− y ‘x | / (x’ 2 + y ‘ 2 )3 2. {\displaystyle \ kappa ={\frac {|x ” y “”- y “x””/} {\left ({x”}^{2}+{y”}^{2} \ right)^{\frac {3}{2}}}}.}

Deze kunnen op een coördinatenvrije manier worden uitgedrukt als

k = det ( γ ‘, γ “) ‖ γ ‘3 3 , κ = | det (γ ‘, γ”) | γ γ ‘ 3 3 ., {\displaystyle k={\frac {\det({\boldsymbol {\gamma }}”,{\boldsymbol {\gamma }}””)}{\|{\boldsymbol {\gamma }}”\|^{3}}},\qquad \kappa ={\frac {|\det({\boldsymbol {\gamma }}”,{\boldsymbol {\gamma }}””)|}{\|{\boldsymbol {\gamma }}”\|^{3}}}.}

deze formules kunnen op de volgende manier worden afgeleid uit het speciale geval van booglengte-parametrisatie. De bovenstaande voorwaarde voor de parametrisering impliceert dat de booglengte s een differentieerbare monotone functie van de parameter t is, en omgekeerd dat t een monotone functie van s is., Bovendien, door, indien nodig, s te veranderen in –s, kan men veronderstellen dat deze functies toenemen en een positieve afgeleide hebben. Met behulp van de notatie van de vorige paragraaf en de ketting regel één is.

d γ d t = d s d t T {\displaystyle {\frac {d{\boldsymbol {\gamma }}}{dt}}={\frac {ds}{dt}}\mathbf {T} ,}

en dus, door het nemen van de norm van beide zijden

d t d s = 1 ‘met γ ‘” genoemd , {\displaystyle {\frac {dt}{ds}}={\frac {1}{\|{\boldsymbol {\gamma }}”\|}},}

waar de prime staat voor de afleiding met betrekking tot t.

De kromming is de norm van de afgeleide van T met betrekking tot s., Door gebruik te maken van de bovenstaande formule en de ketenregel kunnen deze afgeleide en zijn norm alleen worden uitgedrukt in γ’ En γ”, waarbij de booglengte parameter s volledig wordt geëlimineerd, waardoor de bovenstaande formules voor de kromming worden verkregen.

grafiek van een functiedit

de grafiek van een functie y = f (x), is een speciaal geval van een geparametriseerde curve, in de vorm

x = t y = f ( t). {\displaystyle {\begin{aligned}x& = t \ \ y& = f (t).,\end{aligned}}}

Als de eerste en tweede afgeleide van x-1 en 0, vorige formules te vereenvoudigen

κ = | y | ( 1 + y ‘2 ) 3 2 , {\displaystyle \kappa ={\frac {|y””|}{\left(1+{y”}^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}},}

voor de kromming, en

k) = y ( 1 + y ‘2 ) 3 2 , {\displaystyle k={\frac {y””}{\left(1+{y”}^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}},}

voor de ondertekende kromming.

in het algemene geval van een kromme is het teken van de ondertekende kromming op de een of andere manier willekeurig, afhankelijk van een oriëntatie van de kromme., In het geval van de grafiek van een functie, is er een natuurlijke oriëntatie door het verhogen van waarden van x. Dit maakt het teken van de ondertekende kromming significant.

het teken van de ondertekende kromming is hetzelfde als het teken van de tweede afgeleide van f. als deze positief is dan heeft de grafiek een opwaartse holte, en, als deze negatief is, heeft de grafiek een neerwaartse holte. Het is nul, dan heeft men een buigpunt of een golfpunt.

wanneer de helling van de grafiek (dat is de afgeleide van de functie) klein is, wordt de ondertekende kromming goed benaderd door de tweede afgeleide., Om precies te zijn, met behulp van big O notatie, heeft men

k ( x ) = y “+ O ( y ‘ 2 ) . {\displaystyle k (x) = y””+o\left({y”}^{2}\right).}

het is gebruikelijk in de natuurkunde en techniek om de kromming te benaderen met de tweede afgeleide, bijvoorbeeld in de bundeltheorie of voor het afleiden van golfvergelijking van een gespannen string, en andere toepassingen waar kleine hellingen betrokken zijn. Dit maakt het vaak overwegen als lineaire systemen die anders niet-lineair zijn.,

Polar coordinatesEdit

Als een curve wordt bepaald in poolcoördinaten door de straal uitgedrukt als een functie van de polaire hoek, dat is r een functie is van θ, dan is de kromming is

κ ( θ ) = | r 2 + 2 r ‘2 − r-r’ | ( r 2 + r ‘ 2 ) 3 2 {\displaystyle \kappa (\theta )={\frac {\left|r^{2}+2{r}^{2}-r\r””\right|}{\left(r^{2}+{r}^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}}}

waar de eerste verwijst naar differentiatie met betrekking tot θ.,

Dit resulteert uit de formule voor algemene parametrizaties, door de parametrizering te beschouwen

x = r ( θ ) cos θ θ y = r ( θ ) sin θ θ {\displaystyle {\begin{aligned}x&=r(\theta )\cos \theta \\y&=r(\theta )\sin \theta \end{aligned}}}

impliciete krommingdit

κ = | F Y 2 f x x − 2 f x F Y F X Y + F x 2 f y y | ( f x 2 + F Y 2 ) 3 2 . {\displaystyle \ kappa ={\frac {\left / F_{y}^{2}F_{xx}-2f_{x}F_{y}F_{xy}+F_{x}^{2}f_{yy} \ right/} {\left (F_{x}^{2}+F_{y}^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}}.,}

de ondertekende kromming is niet gedefinieerd, omdat deze afhangt van een oriëntatie van de kromme die niet wordt gegeven door de impliciete vergelijking. Het veranderen van F In –F verandert ook niet de curve, maar verandert het teken van de teller als de absolute waarde in de voorgaande formule wordt weggelaten.

een punt van de kromme waar Fx = Fy = 0 een enkelvoudig punt is, wat betekent dat de kromme op dit punt niet differentieerbaar is, en dus dat de kromming niet gedefinieerd is (meestal is het punt ofwel een kruispunt of een cusp).,

bovenstaande formule voor de kromming kan worden afgeleid uit de uitdrukking van de kromming van de grafiek van een functie door gebruik te maken van de impliciete functiestelling en het feit dat men op een dergelijke kromme

d y d x = − F x F y heeft . {\displaystyle {\frac {dy}{dx}}= – {\frac {F_{x}}{F_{y}}}.}

ExamplesEdit

Het kan nuttig zijn om aan de hand van eenvoudige voorbeelden na te gaan of de verschillende formules in de voorgaande paragrafen hetzelfde resultaat geven.

CircleEdit

een veel voorkomende parametrisatie van een cirkel met straal r is γ (t) = (R cos t, r sin t)., De formule voor de kromming geeft

k ( t) = r 2 sin 2 t t + r 2 cos 2 t t ( r 2 cos 2 t t + r 2 sin 2 t t) 3 2 = 1 r . {\displaystyle k (t)={\frac {r^{2} \ sin ^{2}t+r^{2} \ cos ^{2}t} {(r^{2}\cos ^{2}t+r^{2}\sin ^{2}t)^{\frac {3}{2}}}}={\frac {1}{r}}.}

Hieruit volgt, zoals verwacht, dat de kromtestraal de straal van de cirkel is, en dat het middelpunt van de kromming het centrum van de cirkel is.

De Cirkel is een zeldzaam geval waarin de parametrisatie van de booglengte gemakkelijk te berekenen is, omdat het

γ ( s ) = ( r cos s S r , r sin ⁡ S r ) ., {\displaystyle {\boldsymbol {\gamma }} (s) = \left(R\cos {\frac {s}{r}},r\sin {\frac {s}{r}} \ right).}

het is een parametrisatie van de booglengte, aangezien de norm van

γ ‘ (s) = (−sin r S r , cos r S r ) {\displaystyle {\boldsymbol {\gamma}} “(s)=\left (- \sin {\frac {s}{r}},\cos {\frac {s}{r}}\right)}

gelijk is aan één. Deze parametrisatie geeft dezelfde waarde voor de kromming, aangezien het neerkomt op delen door r3 in zowel de teller als de noemer in de voorgaande formule.

dezelfde cirkel kan ook worden gedefinieerd door de impliciete vergelijking F(x, y) = 0 met F(x, y) = x2 + y2 – r2., Dan geeft de formule voor de kromming in dit geval

κ = / F y 2 F x x − 2 F X F y F X y + F x 2 F y y / (F x 2 + F y 2 ) 3 2 = 8 y 2 + 8 x 2 ( 4 x 2 + 4 y 2 ) 3 2 = 8 r 2 (4 r 2 ) 3 2 = 1 r . {\displaystyle {\begin{aligned}\kappa &={\frac {\left|F_{y}^{2}F_{xx}-2F_{x}F_{y}F_{xy}+F_{x}^{2}F_{yy}\right|}{\left(F_{x}^{2}+F_{y}^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}}\\&={\frac {8y^{2}+8x^{2}}{\left(4x^{2}+4y^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}}\\&={\frac {8r^{2}}{\left(4r^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}}={\frac {1}{r}}.,\end{aligned}}}

ParabolaEdit

beschouw de parabool y = ax2 + bx + c.

het is de grafiek van een functie, met afgeleide 2ax + b, en tweede afgeleide 2a. dus, de ondertekende kromming is

k ( x ) = 2 a ( 1 + ( 2 A x + b ) 2 ) 3 2 . {\displaystyle k (x)={\frac {2a} {\left (1+(2ax + b)^{2} \ right)^{\frac {3}{2}}}}.}

het heeft het teken van a Voor alle waarden van x., Dit betekent dat, als een > 0, de concaviteit overal naar boven is gericht; als een < 0, de concaviteit naar beneden is gericht; voor a = 0 is de kromming overal nul, wat bevestigt dat de parabool in dit geval degenereert tot een lijn.

De (ongesigneerde) kromming is maximaal voor x = – b / 2a, dat wil zeggen op het stationaire punt (nulderivaat) van de functie, dat is de top van de parabool.

beschouw de parametrisatie γ (t) = (T, at2 + bt + c) = (x, y). De eerste afgeleide van x is 1, en de tweede afgeleide is nul., Het vervangen van algemene parametrizaties in de formule geeft precies hetzelfde resultaat als hierboven, met x vervangen door t. als we priemgetallen gebruiken voor derivaten met betrekking tot de parameter t.

dezelfde parabool kan ook worden gedefinieerd door de impliciete vergelijking F(X, y) = 0 met F(x, y) = ax2 + bx + c – y.Als Fy = -1, en Fyy = Fxy = 0, verkrijgt men precies dezelfde waarde voor de (ongesigneerde) kromming. Echter, de ondertekende kromming is hier betekenisloos, als-F ( x, y) = 0 is een geldige impliciete vergelijking voor dezelfde parabool, die het tegenovergestelde teken voor de kromming geeft.,

Frenet-Serretformules voor vlakke krommedit

de uitdrukking van de kromming in termen van booglengte parametrisatie is in wezen de eerste frenet-Serretformule

T ‘ ( s ) = κ ( s ) N ( S ) , {\displaystyle \mathbf {T} “(s)=\kappa (s)\mathbf {N} (s),}

waar de priemgetallen verwijzen naar de afgeleiden met betrekking tot de booglengte s, en N(S) is de normale eenheidsvector in de richting van T'(s).

aangezien vlakke krommen nul torsie hebben, biedt de tweede formule Frenet-Serret de relatie

d N D s = – κ T , = – κ D γ d s ., {\displaystyle {\begin{aligned} {\frac {d \ mathbf {N}} {ds}}&= – \kappa \ mathbf {T}, \ \ &= – \ kappa {\frac {d{\boldsymbol {\gamma }}} {ds}}.\end{aligned}}}

voor een algemene parametrisatie met een parameter t, heeft men uitdrukkingen nodig die derivaten met betrekking tot t omvatten. aangezien deze worden verkregen door de derivaten met ds/dt te vermenigvuldigen met s, heeft men, voor elke juiste parametrisatie

N ‘( t ) = − κ ( t ) γ ‘ ( t ) . {\displaystyle \ mathbf {N} “(t)=-\kappa(t){\boldsymbol {\gamma}} “(t).}

---