Pythagorean Triple

A Pythagorean triple is a triple of positive integers , , and such that a right triangle exists with legs and hypotenuse ., Door de stelling van Pythagoras, dit is gelijk aan het vinden van positieve gehele getallen , , en bevredigend

De kleinste en meest bekende Pythagoras triple . De rechthoekige driehoek met deze zijlengtes wordt soms de 3, 4, 5 driehoek genoemd.,

Plots van punten in de-vlak zodanig dat een Pythagoras triple is, worden hierboven getoond voor achtereenvolgens Grotere grenzen. Deze plots bevatten negatieve waarden van en , en zijn daarom symmetrisch over zowel de x – as als de y-as.

evenzo worden plots van punten in de -vlak zodanig weergegeven dat een Pythagoras triple is.,

Het is gebruikelijk om alleen primitieve Pythagorese triples (ook wel”gereduceerde”triples genoemd) te beschouwen waarin en relatief priemgetal zijn, omdat andere oplossingen triviaal kunnen worden gegenereerd uit de primitieve. De primitieve triples zijn hierboven afgebeeld, en het kan onmiddellijk worden gezien dat de radiale lijnen die overeenkomen met imprimitieve triples in de oorspronkelijke plot ontbreken in deze figuur., Voor primitieve oplossingen moet één van of even zijn, en de andere oneven (Shanks 1993, p. 141), met altijd oneven.,=”7a4ddb31b8″>

Hall (1970) and Roberts (1977) prove that is a primitive Pythagorean triple iff

where is a finite product of the matrices , , .,662c5″>

Pythagoras and the Babylonians gave a formula for generating (not necessarily primitive) triples as

for , which generates a set of distinct triples containing neither all primitive nor all imprimitive triples (and where in the special case , ).,

The early Greeks gave

where and are relatively prime and of opposite parity (Shanks 1993, p. 141), which generates a set of distinct triples containing precisely the primitive triples (after appropriately sorting and ).

Let be a Fibonacci number., Then

generates distinct Pythagorean triples (Dujella 1995), although not exhaustively for either primitive or imprimitive triples., More generally, starting with positive integers , , and constructing the Fibonacci-like sequence with terms , , , , , …, generates distinct Pythagorean triples

(Horadam 1961), where

where is a Lucas number.

For any Pythagorean triple, the product of the two nonhypotenuse legs (i.e.,, de twee kleinere getallen) is altijd deelbaar door 12, en het product van alle drie de zijden is deelbaar door 60. Het is niet bekend of er twee verschillende triples zijn met hetzelfde product. Het bestaan van twee van dergelijke triples komt overeen met een niet-nuloplossing van de diofantische vergelijking

(guy 1994, blz. 188).,

For a Pythagorean triple (, , ),

where is the partition function P (Honsberger 1985).,cdc34dc”>

(Robertson 1996).,

De oppervlakte van een driehoek die overeenkomt met de stemming van Pythagoras triple

Fermat bewezen dat een aantal van deze vorm kan nooit een squarenumber.,td>

The number of such triangles is then

Then

(Beiler 1966, p., 116). Merk op dat iff een priemgetal of tweemaal een priemgetal is. De eerste paar getallen voor , 2,… zijn 0, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 1, 1, 4, 1, … (OEIS A046079).,

om het nummer Te vinden van manieren waarin een aantal kan de schuine zijde van een primitieve, rechthoekige driehoek, schrijf de ontbinding als

waarbij de ‘ s zijn van de vorm en de ‘ s zijn van de vorm .,> as a hypotenuse is

			(29)
			(30)

(correcting the typo of Beiler 1966, p., 117, die stelt dat deze formule alleen het aantal niet-primitieve oplossingen geeft), waarbij de functie kwadratensom is., in die kan een been of schuine zijde van een rechthoekige driehoek is gegeven door

Laten we het aantal driepersoonskamers, met schuine zijde worden aangeduid , het aantal driepersoonskamers, met schuine zijde worden aangeduid , en het aantal van de primitieve triples minder dan worden aangeduid ., Then the following table summarizes the values for powers of 10.

	OEIS	, , …
	A101929	1, 50, 878, 12467, …
	A101930	2, 52, 881, 12471, …
	A101931	1, 16, 158, 1593, ..,.

Lehmer (1900) proved that the number of primitive solutions with hypotenuse less than satisfies

(OEIS A086201).

There is a general method for obtaining triplets of Pythagorean triangles with equalareas.,b636f03a4d”>

Then the right triangle generated by each triple () has common area

Right triangles whose areas consist of a single digit include (area of 6) and (area of 666666; Wells 1986, p., 89).in 1643 daagde Fermat Mersenne uit om een Pythagoras triplet te vinden waarvan de schuine zijde en de som van de benen vierkanten waren.,

A related problem is to determine if a specified integer can be the area of a right triangle with rational sides., 1, 2, 3, en 4 zijn niet de gebieden van enige rationele rechte driehoeken, maar 5 is (3/2, 20/3, 41/6), net als 6 (3, 4, 5)., (46) has a rational solution, in which case

			(47)
			(48)

(Koblitz 1993)., Er is geen algemene methode bekend om te bepalen of er een oplossing is voor willekeurige , maar een techniek die door J. Tunnell in 1983 werd ontwikkeld, maakt het mogelijk bepaalde waarden uit te sluiten (Cipra 1996).

---