Snell “s law

De Wet van Snell kan op verschillende manieren worden afgeleid.

afleiding uit Fermat “s principleEdit

Snell “’s wet kan worden afgeleid uit Fermat”s principe, dat stelt dat het licht het pad aflegt dat de minste tijd in beslag neemt., Door de afgeleide van de optische weglengte te nemen, wordt het stationaire punt gevonden dat de weg geeft die door het licht wordt genomen. (Er zijn situaties van licht die het principe van Fermat schenden door niet het minste tijdpad te nemen, zoals in reflectie in een (sferische) spiegel.) In een klassieke analogie wordt het gebied met de lagere brekingsindex vervangen door een strand, het gebied met de hogere brekingsindex door de zee, en de snelste manier voor een redder op het strand om bij een verdrinkende persoon in de zee te komen is om langs een pad te lopen dat Snell ‘ s wet volgt.,

zoals weergegeven in de afbeelding rechts, neem aan dat de brekingsindex van medium 1 en medium 2 respectievelijk n 1 {\displaystyle n_{1}} en n 2 {\displaystyle n_{2}} zijn. Licht komt medium 2 binnen van medium 1 via punt O.

de fasesnelheden van licht in medium 1 en medium 2 zijn

v 1 = c / N 1 {\displaystyle V_{1}=c/n_{1}} en v 2 = c / N 2 {\displaystyle V_{2}=c/n_{2}} respectievelijk.,

c {\displaystyle c} is de lichtsnelheid in vacuüm.

Laten we T de tijd die nodig is voor het licht om te reizen van punt Q door O om het punt P.

T = x 2 + a 2 v 1 + b 2 + ( l − x ) 2 v 2 = x 2 + a 2 v 1 + b 2 + l 2 − 2 l x + x 2 v 2 {\displaystyle T={\frac {\sqrt {x^{2}+a^{2}}}{v_{1}}}+{\frac {\sqrt {b^{2}+(l-x)^{2}}}{v_{2}}}={\frac {\sqrt {x^{2}+a^{2}}}{v_{1}}}+{\frac {\sqrt {b^{2}+l^{2}-2lx+x^{2}}}{v_{2}}}}

waar a, b, l en x zijn zoals aangegeven in de rechter figuur, waarbij x staat voor de verschillende parameter.,heta _{2}}{v_{2}}}} n 1 sin ⁡ θ 1 c = n 2 sin ⁡ θ 2 c {\displaystyle {\frac {n_{1}\sin \theta _{1}}{c}}={\frac {n_{2}\sin \theta _{2}}{c}}} n 1 sin ⁡ θ 1 = n 2 sin ⁡ θ 2 {\displaystyle n_{1}\sin \theta _{1}=n_{2}\sin \theta _{2}}

Afleiding van Huygens”s principleEdit

u kunt Ook Snell”s wet kan worden afgeleid met behulp van interferentie van alle mogelijke paden van het lichte golf tussen bron en waarnemer—het resulteert in een destructieve interferentie overal, behalve op extrema fase (waar de storing is constructief)—die de werkelijke paden.,

afleiding uit Maxwell ’s EquationsEdit

een andere manier om Snell’ s wet af te leiden, houdt een toepassing in van de Algemene randvoorwaarden van Maxwell-vergelijkingen voor elektromagnetische straling.,θ 1 = n 2 k 0 zonde ⁡ θ 2 {\displaystyle n_{1}k_{0}\sin \theta _{1}=n_{2}k_{0}\sin \theta _{2}\,} n 1 sin ⁡ θ 1 = n 2 sin ⁡ θ 2 {\displaystyle n_{1}\sin \theta _{1}=n_{2}\sin \theta _{2}\,}

Vector formEdit

cos ⁡ θ 1 = − n → ⋅ l → {\displaystyle \cos \theta _{1}=-{\vec {n}}\cdot {\vec {l}}} v → r e f l e c t = l → + 2 cos ⁡ θ 1 n → {\displaystyle {\vec {v}}_{\mathrm {weerspiegelen} }={\vec {l}}+2\cos \theta _{1}{\vec {n}}}

Dit weerspiegeld de richting van de vector wijst terug naar de zijkant van het oppervlak waar het licht vandaan kwam.,{2}={\sqrt {1-(\sin \theta _{2})^{2}}}={\sqrt {1-\left({\frac {n_{1}}{n_{2}}}\right)^{2}\left(1-\left(\cos \theta _{1}\right)^{2}\right)}}} v → r e f r a c t = ( n-1 n-2 ) l → + ( n 1 n 2 cos ⁡ θ 1 − cos ⁡ θ 2 ) n → {\displaystyle {\vec {v}}_{\mathrm {breken} }=\left({\frac {n_{1}}{n_{2}}}\right){\vec {l}}+\left({\frac {n_{1}}{n_{2}}}\cos \theta _{1}-\cos \theta _{2}\right){\vec {n}}} v → r e f r a c t = r l → + ( r − 1 − r 2 ( 1 − c 2 ) ) n → {\displaystyle {\vec {v}}_{\mathrm {breken} }=r{\vec {l}}+\left(rc-{\sqrt {1-r^{2}\left(1-c^{2}\right)}}\right){\vec {n}}}

Voorbeeld:

l → = { 0.,707107 , − 0.707107 } , n → = { 0 , 1 } , r = n 1 n 2 = 0.9 {\displaystyle {\vec {l}}=\{0.707107,-0.707107\},~{\vec {n}}=\{0,1\},~r={\frac {n_{1}}{n_{2}}}=0.9} c = cos ⁡ θ 1 = 0.707107 , 1 − r 2 ( 1 − c 2 ) = cos ⁡ θ 2 = 0.771362 {\displaystyle c=\cos \theta _{1}=0.707107,~{\sqrt {1-r^{2}\left(1-c^{2}\right)}}=\cos \theta _{2}=0.771362} v → r e f l e c t = { 0.707107 , 0.707107 } , v → r e f r a c t = { 0.636396 , − 0.771362 } {\displaystyle {\vec {v}}_{\mathrm {reflecteren} }=\{0.707107,0.707107\},~{\vec {v}}_{\mathrm {breken} }=\{0.636396,-0.,771362\}}

De cosinuswaarden kunnen worden opgeslagen en gebruikt in de fresnelvergelijkingen voor het berekenen van de intensiteit van de resulterende stralen.